Väitös matematiikan alalta, M.Sc. Cintia Pacchiano Camacho

Vastaväittäjä on apulaisprofessori Cristiana De Filippis, University of Parma, Italia

Kustos on professori Juha Kinnunen, Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu, matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Väittelijän yhteystiedot: [email protected], +358 (50) 4149900

Väitöstilaisuus järjestetään kampuksella.

Väitöskirja on julkisesti nähtävillä 10 päivää ennen väitöstä Aalto-yliopiston julkaisuarkiston verkkoriiputussivulla.

Elektroninen väitöskirja

Väitöstiedote:

Väitöskirjassa tutkitaan olemassaolo- ja säännöllisyysominaisuuksia variaatiolaskentaan liittyville funktioille metrisessä mitta-avaruudessa, joka toteuttaa heikon Poincarén epäyhtälön ja jonka mitta on tuplaava. Erityisesti työssä tarkastellaan kokonaisheilahteluun liittyvän virtauksen (total variation flow, TVF) variaatioratkaisuja ja (p,q)-Dirichlet-integraalin kvasiminimoijia. Väitöskirjan pääteemana on laajentaa variaatiolaskennan klassisia tuloksia metrisen mitta-avaruuden kontekstiin.

Variaatiolaskennan menetelmät tarjoavat lähestymistavan funktionaalien minimointiongelmien ratkaisuun. Menetelmien tavoitteena on esittää välttämättömät ja riittävät ehdot minimoijan olemassaololle sekä ehdot, joiden nojalla minimi on teoriassa mahdollista laskea. Variaatiolaskenta liittyy läheisesti osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriaan, sillä minimointiongelman ratkaisun olemassaolo yleensä edellyttää, että kyseinen funktio toteuttaa tietyn osittaisdifferentiaaliyhtälön.

Väitöskirjassa keskitytään useisiin Dirichlet-tyypin integraaliin liittyviin funktioluokkiin. Aluksi työssä esitetään TVF:n variaatioratkaisun määritelmä metrisessä mitta-avaruudessa. Ratkaisun olemassaolo osoitetaan, minkä lisäksi työssä esitetään välttämättömät ja riittävät ehdot ratkaisun jatkuvuudelle annetussa pisteessä. Lineaariset kasvuehdot toteuttavia parabolisia ongelmia ei ole tiettävästi käsitelty aiemmin kirjallisuudessa metrisen mitta-avaruuden kontekstissa. Työssä käsitellään (p,q)-Dirichlet-integraalia puhtaasti variaatiolaskennan kautta. Kyseiselle integraalille esitetään kvasiminimoijan määritelmä. Ylägradientin ja Newton-avaruuden käsitteitä käyttäen työssä osoitetaan säännöllisyystuloksia sekä lokaalisti että alueen reunalle asti. Lopuksi todistetaan korkeampaan integroituvuuteen ja stabiilisuuteen liittyviä tuloksia metrisessä mitta-avaruudessa.

Analyysi metrisessä mitta-avaruudessa on aktiivinen ja itsenäinen tutkimusala, joka yhdistää tutkijoita matematiikan eri osa-alueilta. Sillä on sovelluksia moniin eri tieteenaloihin vaihdellen geometrisesta ryhmäteoriasta epälineaarisiin osittaisdifferentiaaliyhtälöihin, ja jopa teoreettiseen tietojenkäsittelytieteeseen. Näin ollen tutkimus alalla voi edistää ilmiöiden ymmärrystä ja johtaa uusiin tuloksiin, jopa klassisessa Euklidisen avaruuden tapauksessa.